Calcul PGCD et PPCM
Saisissez au moins deux entiers naturels. Le PGCD, le PPCM et la méthode s’affichent pendant la saisie.
Ce que vous saisissez reste sur cette page et n'est envoyé nulle part.
Saisissez des entiers naturels à partir de 1. Avec un seul nombre, vous obtenez sa décomposition et ses diviseurs.
Une liste collée comme 12 ; 18 ; 30 est répartie dans les cases. 10 nombres au plus.
- PGCD
- 6
- PPCM
- 36
6 est le plus grand nombre qui les divise tous, et 36 le plus petit nombre qu’ils divisent tous.
12 × 18 = 6 × 36 = 216
Méthode
On divise les deux nombres par un nombre premier qui les divise tous les deux, jusqu’à ce qu’il n’y en ait plus.
| 2 | 12 | 18 |
| 3 | 6 | 9 |
| 2 | 3 |
- PGCD
- On multiplie les nombres premiers de gauche qui ont divisé tous les nombres : 2 × 3 = 6
- PPCM
- On multiplie tous les nombres premiers de gauche et tous les nombres de la dernière ligne : 2 × 3 × 2 × 3 = 36
Diviseurs et multiples communs
Les diviseurs communs sont les diviseurs du PGCD 6 ; les multiples communs, les multiples du PPCM 36.
Décomposition et diviseurs de chaque nombre
6 diviseurs = (2+1) × (1+1)
1, 2, 3, 4, 6, 12
Voir les divisions par des nombres premiers
| 2 | 12 |
| 2 | 6 |
| 3 | 3 |
| 1 |
On divise par le plus petit nombre premier jusqu’à obtenir 1, puis on multiplie les nombres premiers de gauche.
6 diviseurs = (1+1) × (2+1)
1, 2, 3, 6, 9, 18
Voir les divisions par des nombres premiers
| 2 | 18 |
| 3 | 9 |
| 3 | 3 |
| 1 |
On divise par le plus petit nombre premier jusqu’à obtenir 1, puis on multiplie les nombres premiers de gauche.
Mode d'emploi
- Saisissez un nombre par case, ou collez une liste comme 12 ; 18 ; 30.
- Lisez le PGCD et le PPCM.
- Choisissez divisions successives, facteurs premiers ou Euclide pour voir la méthode.
Questions fréquentes
Comment trouver le PGCD et le PPCM avec les facteurs premiers ?
On décompose chaque nombre en facteurs premiers. Le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant, le PPCM tous les facteurs avec le plus grand. Comme 12 = 2² × 3 et 18 = 2 × 3², le PGCD vaut 6 et le PPCM 36.
Comment fonctionne l’algorithme d’Euclide ?
On divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le dernier diviseur par le reste, et ainsi de suite. Quand le reste vaut 0, le dernier diviseur est le PGCD. La méthode marche quelle que soit la taille des nombres : elle sert ici au-delà de mille milliards.
Pourquoi le produit de deux nombres égale-t-il PGCD × PPCM ?
Pour deux nombres, chaque facteur premier entre une fois dans le PGCD avec le plus petit exposant et une fois dans le PPCM avec le plus grand : à eux deux, ils réunissent exactement les facteurs des deux nombres. Ce n’est plus vrai à partir de trois nombres.
Que signifie un PGCD égal à 1 ?
Les nombres n’ont aucun facteur premier commun : ils sont premiers entre eux. À partir de trois nombres, un PGCD de 1 ne veut pas dire que chaque paire l’est : 6, 10 et 15 ont pour PGCD 1, mais 6 et 10 partagent le facteur 2.
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